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引言

1. 题型总结中推荐例题有蓝皮书的题型较为重要，只有吉米多维奇的题型次之。
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知识点思维导图

补充：

1. 方阵与行列式是两个不同的概念：n 阶方阵是$n^2$个数按一定方式排列的数表，而 n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。
2. $A$与$A^{\ast }$的行列式之间的关系：$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
3. 伴随矩阵常用结果：
   1）$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$
   2）$(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$
   3）$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$
   4）$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$
4. 任意一矩阵经过有限次的初等变换，都可以化为标准形矩阵，行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
5. 初等变换求逆矩阵时，若构造的矩阵是 (A,E) 型的（要变换为$(E,A^{-1})$）只能用初等行变换。同理：构造的如果是列的矩阵只能用初等列变换。
6. 常用的分块矩阵：

1）

2）

3）

矩阵秩的基本性质与相关结论总结

一、单个矩阵的秩

1. 若矩阵$A$ 中有某个 $s$ 阶子式不为 $0$，则 $r(A)\ge s$；若矩阵$A$ 中所有 $t$ 阶子式全为$0$，则 $r(A)＜t$。
2. $A$行（或列）满秩$⟺$ $r(A)=m(或n)$ $⟺$A 的等价标准形为$(E_m,0)$（或$(E_m,0{)}^T$）
3. 若$A$为$m\times n$矩阵，则 $0\le r(A)\le min(m,n)$。
4. 若 $A$ 是 $n$ 阶方阵： $r(A)=n$ $⟺$ $|A|\ne 0$；$r(A)＜n$ $⟺$ $|A|=0$。

二、两个矩阵的秩

1. $r(A^{T}A)=r(A{A}^T)=r(A^T)=r(A)$。
2. 同型矩阵 $A、B$等价的充要条件是 $r(A)=r(B)$ 。
3. $max(r(A),r(B))\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$，特别的，当$B=b$为向量时，有 $r(A)\le r(A,b)\le r(A)+1$ 。
4. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$，若 $A_{m\times n}{B}_{n\times s}=0$，则 $r(A)+r(B)\le n$。
5. $r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le min(r(A),r(B))$
6. 若 $P、Q$可逆，则 $r(PAQ)=r(A)$。

三、其他

1. 由 $n$ 维非零列向量 $\alpha ，\beta$ 乘积生成的矩阵（ $A=\alpha {\beta }^T$）有：$A^m=k^{m-1}A$
2. $A^{\ast }$是 $n$ 阶方阵 $A$ 的伴随矩阵，则
   $$\boxed{r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n& 若r(A)=n,\\ 1& 若r(A)=n-1,\\ 0& 若r(A)小于n-1.\end{array}}$$

易错

1. 伴随矩阵：
   1）是个方阵；
   2）行列式 |A| 个元素的代数余子式构成的方阵，还要转置一下。
2. 把矩阵变换为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，只能用初等行变换。

题型总结

一、初等变换法求解逆矩阵和解矩阵方程

1. 方法原理：（最常用）
   1）求逆矩阵：
   $$\boxed{(A,E)\stackrel{初等行变换}{\to }(E,A^{-1})}$$
   2）解矩阵方程：对矩阵方程$AX=B$，有
   $$\boxed{(A,B)\stackrel{初等行变换}{\to }(E,A^{-1}B)}$$
2. 计算逆矩阵的方法还有：公式法（$A^{-1}=A^{\ast }/|A|$ ），定义法，初等列变换，行列一起变。
3. 用定义法求逆矩阵的关键是凑出等式$AB=E$从而$A^{-1}=B$。
4. 相关例题：
   1）（蓝皮书）：P30。
   2）（吉米多维奇）：P61-P64, P75-P77, P94-P95。

二、求矩阵的秩

1. 方法一：（初等变换法）把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是矩阵的秩。
   1）此方法最常用，也最简便。
2. 方法二：（定义法）利用矩阵的定义求矩阵的秩。
   1）若矩阵的任意两行两列都成比例，则所有矩阵的二阶子式都为0，秩为1。
   2）由秩的定义可知：若矩阵存在一个不为0的 r 阶子式，而包含这个 r 阶子式的所有 r+1 阶子式全为 0 ，则矩阵的秩为 r。
   3）利用$r(A)<n$可以得到$|A|=0$，从而解出相关未知量。
   4）要掌握此方法的关键是理解、牢记并熟练地运用秩的定义。
3. 方法三：（公式法）利用常用的公式求矩阵的秩。
   1）常见的题型如证明矩阵的秩。
   2）求解的关键就是要牢记并能熟练地使用秩的相关公式和结论。
   3）此方法较难想到，尤其是繁多的公式结论，但若能掌握此方法，对求解矩阵的秩的相关习题将有极大的帮助。
4. 相关例题：
   1）（蓝皮书）：P31。
   2）（吉米多维奇）：P80-P85。

其余题型

1. 矩阵的幂运算。
   1）主要思想：在$A^n$的每一项上做文章，把它展开，想办法使项与项相消，化繁为简。
   2）注意使用$A=\alpha {\beta }^T$。
   3）利用数学归纳法，先求出较低次的幂，观察其定律，再归纳证明。
   4）相关例题：
   i. （蓝皮书）：P23-P24。
   ii. （吉米多维奇）：P51-P54。
2. 用其他矩阵来表示或推导某个矩阵。
   1）因式分解，想办法配凑出要求的矩阵。
   2）注意 E 的使用（增、减，配凑式子）。
   3）相关例题：（蓝皮书）：P25-P27。
3. 求方阵的行列式：此类题目的一般求法是：首先对所给的等式进行变形，使得矩阵两边都是矩阵相乘的形式，然后两边同时取行列式。求解的关键是找已知式子与未知结果的式子的关联。
4. 分块矩阵的运算
   1）将大矩阵的运算分块为多个小矩阵的运算，从而简化运算。
   2）再分块时尽量时矩阵的子块是特殊的矩阵，如单位矩阵，对角矩阵，零矩阵等。

方法心得

1. 求分块矩阵的逆矩阵常用方法：待定系数法。 如求分块矩阵 A 的逆矩阵。可以设
   $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ X_{21}& X_{22}\end{array}\right)$$
   再由
   $$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}E& O\\ O& E\end{array}\right)$$
   求出相应元素即可。

参考资料：

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